Die Kelly-kriterium en roulette
Die Kelly-kriterium sê vir 'n wedder met 'n voordeel hoeveel om in te sit. Vir roulette gee dit 'n duidelike antwoord: niks.
Kelly-insetbedrag = voordeel / kanse. Met 'n negatiewe voordeel gee die formule 'n negatiewe breukdeel, wat beteken: moenie wed nie. Die kriterium is steeds nuttig om te verstaan waarom spelers wat sydige wiele uitgebuit het, hul insette op dié manier gekies het, en waarom almal anders hul insette volgens 'n begroting moet kies.
Die kriterium
John Kelly (1956) het gevra hoe 'n dobbelaar met 'n bekende voordeel sy insette moet kies om die groei van sy speelgeldgeldSpeelgeldDie totale bedrag wat vir spel opsy gesit is. Speelgeldbestuur is om te besluit hoeveel daarvan jy per inset en per speelsessie waag.Lees alles → op die lang termyn te maksimeer. Die antwoord, vir 'n inset wat b tot 1 betaal met 'n waarskynlikheidwiskundeWaarskynlikheidDie kans op 'n uitslag, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Een getal: 1/37 = 2,70%.Lees alles → p om te wen en 'n waarskynlikheid q = 1 − p om te verloor, is om die breukdeel f* = (bp − q) / b van die speelgeld in te sit. 'n Positiewe f* beteken: sit daardie breukdeel in; nul of negatief beteken: moenie wed nie. Kelly het by Bell Labs gewerk, en sy artikel, “A new interpretation of information rate”, het die probleem in Claude Shannon se inligtingsteorie geplaas: 'n dobbelaar wat wenke oor 'n lyn met geraas kry, teen regverdige kanse, kan sy speelgeld hoogstens laat groei teen die tempo waarteen die lyn inligting dra. In 1961 het Leo Breiman bewys dat Kelly-insette op die lang termyn voor eindig as enige wesenlik ander strategie en 'n gestelde doel in omtrent die kortste tyd bereik.
Kelly-insette in roulette
Vir rooiinsetRooiGelykgeld-inset op die 18 rooi getalle. Frans: rouge.Lees alles →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Vir 'n reguit insetinsetReguit inset'n Enkele getal (straight up), betaal 35:1 uit.Lees alles →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Elke standaardinset gee 'n negatiewe Kelly-breukdeel, omdat elke inset 'n negatiewe voordeel het, en die groei-optimale insetbedrag is nul. Kelly-insette in roulette is 'n formele manier om te sê wat die bladsy oor die huisvoordeel sê: daar is geen grootte waarteen 'n inset met 'n negatiewe verwagting speelgeld laat groei nie.
Waar Kelly wel gegeld het
Spelers wat sydige wiele uitgebuit het, het 'n voordeel én 'n probleem met die grootte van hul insette gehad. Jagger, die García-Pelayos en die Eudaemons moes almal besluit hoeveel om op hul gemete voordeel te wed: te klein insette mors die voordeel, terwyl te groot insette die risiko van ondergang inhou voordat die voordeel wys. Vir 'n vaktoerustingVakEen van die 37 genommerde kompartemente op die rotor. Ook: gleuf, bakkie.Lees alles → wat 1 keer uit 30 tref, sê Kelly 0,57% van die speelgeld per draai op daardie getal: met $10 000 omtrent $57 per draai, vir 'n tipiese groei van omtrent 0,054% per draai, of ×1,7 oor 1 000 draaie. Die gemiddelde wins is dubbel soveel, 0,11% per draai, maar Kelly mik op die tipiese speelgeld, nie die gemiddelde nie, wat deur 'n paar gelukkige reekse opgeblaas word. Halwe Kelly is die gewone praktiese keuse omdat die skatting van die voordeel onseker is.
Tipies en gemiddeld
Die gaping tussen die tipiese speelgeld en die gemiddelde speelgeld is groot. Neem 'n vak wat 1 keer uit 25 tref, 'n voordeel van 44%, die syfer wat Thorp vir sy toestel gee. Kelly sit 1,26% van die speelgeld daarop in. Ná 1 000 draaie het die tipiese speelgeld omtrent 11,5 keer gegroei, terwyl die gemiddeld, opgetrek deur 'n paar baie gelukkige reekse, omtrent 249 keer gegroei het. Om meer as Kelly in te sit, verhoog die gemiddeld en verlaag die tipiese uitslag: teen twee keer die Kelly-insetbedrag verdubbel die tipiese speelgeld net, en teen twee en 'n half keer die Kelly-insetbedrag krimp dit, hoewel elke inset steeds 'n voordeel van 44% het. Om minder in te sit, kos min: die helfte van die insetbedrag behou omtrent driekwart van die groei.
Wanneer die voordeel 'n raaiskoot is
Kelly neem aan dat die voordeel bekend is. By die tafel word dit geskat, en die skatting is gewoonlik te hoog. Epstein se voorbeeld, gebou op Thorp se 44%, is 'n getal wat 49 keer in 1 225 draaie van 'n wiel met 'n dubbelnulwielNulDie enkele groen vak wat geen gelykgeld-, dosyn- of kolominset dek nie; die bron van die huisvoordeel. Ook: enkele nul, 0.Lees alles → getref het: 1 keer uit 25, 'n voordeel van 44%, 'n Kelly-insetbedrag van 1,26%. Maar 'n regverdige wiel met 'n dubbelnul het 38 getalle, en die besigste van hulle bereik 49 of meer in 1 225 draaie omtrent een keer uit nege. Die besigste getal in enige rekord is ook die een wat geluk die meeste gehelp het, dus lyk selfs 'n werklik sydige vak beter in die rekord as wat dit is: die wennersvloek. As daardie vak in werklikheid nie sydig is nie, is die Kelly-insetbedrag bloot 'n inset wat gemiddeld 5,26% verloor. Die gewone antwoorde is om 'n breukdeel van Kelly in te sit en aan te hou tel totdat die voordeel 'n nuwe rekord oorleef (sien Hoe om wielsydigheid in roulette op te spoor).
Mense met 'n voordeel
Om die voordeel te ken, is nie dieselfde as om dit goed te gebruik nie. Haghani en Dewey (2016) het 61 mense elk $25 gegee om 'n halfuur lank te wed op 'n muntstuk wat, so is hulle vertel, 60% van die tyd op kop land, met winste wat op $250 beperk is (spelers het eers van die limiet gehoor toe hulle dit bereik het). Kelly sê: sit elke keer 20% van die speelgeld op kop in, en die skrywers skat dat bestendige insette van 10–20% die limiet omtrent 95% van die tyd sou bereik. Slegs 21% van die spelers het daar uitgekom. 28% het bankrot gespeel, 18 van die 61 het alles op een enkele gooi ingesit, omtrent 'n derde het onder die $25 geëindig waarmee hulle begin het, en die gemiddelde uitbetalinggeldUitbetalingWat 'n inset wat wen, oplewer, uitgedruk as “X tot 1” bo-op die terugbetaalde insetbedrag.Lees alles → was $91. Slegs vyf van die 61 het al van die Kelly-kriterium gehoor. Met 'n voordeel bepaal die grootte van die insette of jy dit behou; sonder een, soos by 'n regverdige wiel, help geen grootte nie.
Wat om eerder te gebruik
Sonder 'n voordeel is die grootte van die insette 'n begrotingsvraag, nie 'n groeivraag nie: insetbedrag = wat jy bereid is om per draai te spandeer, afgelei van die begroting per uur en die tempo van die tafel (bladsy oor die bestuur van speelgeld). Kelly se bydrae vir die gewone speler is die duidelikheid van sy antwoord: nul. Alles wat jy bo nul insit, is die prys van speel, deur jou gekies, nie deur enige formule geoptimeer nie.
'n Nota oor breukdeel-Kelly en “geldbestuur”
Stelsels wat as “Kelly vir roulette” verkoop word en 'n vaste persentasie van die speelgeld per inset aanbeveel, is vaste insettestrategieVaste insetteElke draai dieselfde bedrag insit. Die maatstaf waarmee elke progressie vergelyk word.Lees alles → met 'n krimpende insetbedrag. Hulle verloor 2,70% van die omsetgeldOmsetDie totale bedrag wat oor 'n speelsessie of tydperk ingesit word, insluitend winste wat weer ingesit word. Ook: handle, action.Lees alles → en, omdat die insetbedrag krimp namate jy verloor, maak hulle ondergang stadig eerder as onwaarskynlik. Dit is 'n redelike manier om 'n begroting te laat hou; dit is nie Kelly nie, wat sou sê: hou op.
Formule
Vrae
Slegs met 'n gemete voordeel van 'n sydige wiellaboratoriumSydige wiel'n Wiel waarvan die fisiese gebreke sommige vakke waarskynliker as 1/37 maak. Skaars, en net met duisende aangetekende draaie op te spoor.Lees alles → of 'n tydmeettoestel. Nie op 'n regverdige wiel nie.
Omdat die skatting van die voordeel foute bevat, en te groot insette duurder is as te klein insette. Halwe Kelly gee driekwart van die groei teen 'n kwart van die variansiewiskundeVariansie'n Maatstaf van hoe wyd uitslae rondom die verwagte waarde versprei. Hoog vir 'n reguit inset, laag vir gelykgeld-insette.Lees alles →.
Nee. Kelly optimeer groei as daar 'n voordeel is. Die bestuur van speelgeld beheer spandering as daar geen is nie.
Pret met wiskunde
Probeer dit eers self. Elke oplossing is toegevou; maak dit oop wanneer jy gereed is.
Thorp en Shannon se voorspellingstoestel het 'n voordeel van ongeveer 44% gegee. Op 'n enkele voorspelde getal sê Kelly jy moet 1,26% van die speelgeldgeldSpeelgeldDie totale bedrag wat vir spel opsy gesit is. Speelgeldbestuur is om te besluit hoeveel daarvan jy per inset en per speelsessie waag.Lees alles → wed. Wat as dieselfde voordeel van 44% op een inset gekom het wat oor vyf naburige getalle versprei is?
Wys die oplossing
Antwoord Kelly sê dan 7,1% van die speelgeld, en die speelgeld groei byna ses keer so vinnig: ongeveer 1,25 miljoen keer oor 1 000 insette, teenoor ongeveer 11,5 keer.
'n Reguit insetinsetReguit inset'n Enkele getal (straight up), betaal 35:1 uit.Lees alles → met 'n voordeel van 44% wen met 'n kans van 0,04, aangesien 36 × 0,04 = 1,44. Kelly se insetbedrag is die voordeel gedeel deur die kanse: 0,44/35 = 1,26%. Die tipiese groei per inset is 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, so 1 000 insette vermenigvuldig die speelgeld met ongeveer e^2,44 ≈ 11,5.
Versprei een insetbedrag oor vyf getalle en die inset wen met 'n kans van 0,20 en betaal 36/5 vir 1, dit is 6,2 tot 1: steeds 'n voordeel van 44%, aangesien 0,2 × 7,2 = 1,44. Kelly se insetbedrag word 0,44/6,2 = 7,10%, en die groei per inset 0,01404, ongeveer 5,75 keer soveel. Oor 1 000 insette is dit e^14,04, ongeveer 1,25 miljoen.
Die voordeel is dieselfde; die skommelinge is kleiner. 'n Inset wat een keer uit vyf wen, kan 'n groter deel van die speelgeld dra sonder om ondergang te waag, en Kelly se groei beloon dit. Thorp (1984) gebruik die voorbeeld om te wys waarom voorspellingspelers op sektorewielSektor'n Aaneenlopende boog van vakke op die wiel, anders as 'n groep op die insetbord.Lees alles → wed. In die praktyk dra vyf bureinsetBure'n Getal en die twee vakke aan weerskante daarvan op die wiel, vyf skyfies as reguit insette.Lees alles → 'n effens laer voordeel as die enkele beste getal (sien Voordeelspel).
'n Speler het twee naburige vakketoerustingVakEen van die 37 genommerde kompartemente op die rotor. Ook: gleuf, bakkie.Lees alles → gevind wat elk 1 keer in 25 tref in plaas van 1 in 37. Moet die speler die splitinsetSplitTwee aangrensende getalle, betaal 17:1 uit.Lees alles → tussen hulle teen 17 tot 1 wed, of elke getal as 'n reguit inset? Hoeveel sê Kelly, en hoe vinnig groei die speelgeld in vergelyking met een so 'n vak?
Wys die oplossing
Antwoord Dit maak geen verskil nie: 2,59% van die speelgeld op die split, of 1,29% op elke getal. Die tipiese speelgeld groei ongeveer 155 keer in 1 000 draaie, teenoor 11,5 keer met een vak.
Die split wen met 'n waarskynlikheidwiskundeWaarskynlikheidDie kans op 'n uitslag, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Een getal: 1/37 = 2,70%.Lees alles → van 2/25 = 0,08 en betaal 17 tot 1, so dit lewer 18 × 0,08 = 1,44 op per eenheidgeldEenheidDie basiese insetbedrag waarmee 'n stelsel of 'n speler werk. Progressies word in eenhede beskryf sodat hulle by enige tafel geld.Lees alles → ingesit: 'n voordeel van 44%, dieselfde as een sydige vak. Kelly se insetbedrag is die voordeel gedeel deur die kanse: 0,44/17 = 2,59%.
Twee reguit insette van 1,29% elk gee presies dieselfde uitslae. Wanneer een van die getalle uitkom, wen een skyfiegeldSkyfie'n Teken wat 'n vaste bedrag verteenwoordig en op die insetbord geplaas word om 'n inset te maak. Ook: check.Lees alles → 35 tot 1 en die ander is verloor, netto 34 × 1,29% = 44% van die speelgeld, soos die split betaal; wanneer geeneen uitkom nie, is albei verloor.
Die groei per draai is 0,00505, teenoor 0,00244 vir een vak, so oor 1 000 draaie groei die tipiese speelgeld e^5,046 ≈ 155 keer eerder as e^2,44 ≈ 11,5 keer. Twee goeie getalle is baie meer werd as twee keer een, en daarom wed spelers wat sydige wiele uitbuit op groepe getalle. Thorp (1984) werk dieselfde vergelyking uit.
Vir die lekker
Die groei-optimale insetbedrag in roulette is 'n getal wat almal reeds ken.
Bronne
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2de uitg.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2de uitg.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”