Probleem: die verjaardagwiel
Hoeveel draaie voordat een of ander getal hom herhaal? Baie minder as wat die meeste mense raai.
Die verjaardagprobleem op 'n wiel met 37 vakketoerustingVakEen van die 37 genommerde kompartemente op die rotor. Ook: gleuf, bakkie.Lees alles →: ná net 8 draaie is daar 'n beter as gelyke kans dat een of ander getal reeds twee keer verskyn het. Spelers lees herhalings as patrone; dit is die verwagte gedrag van 'n regverdige wiel.
Die probleem
Draai 'n regverdige Europese wiel. Hoeveel draaie totdat die waarskynlikheidwiskundeWaarskynlikheidDie kans op 'n uitslag, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Een getal: 1/37 = 2,70%.Lees alles → dat minstens twee draaie dieselfde getal gewys het, groter as die helfte is? Die meeste spelers raai iewers rondom 18 of 19, die helfte van 37. Die antwoord is 8.
Die oplossing
Bereken die waarskynlikheid van geen herhaling nie en trek dit van een af. Ná k draaie is p(almal verskillend) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Vir k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, dus p(een of ander herhaling) ≈ 0,56. Vir k = 14 is dit 0,93; vir k = 20 is dit 0,996. Die intuïsie faal omdat die aantal pare draaie soos k² groei, en enige paar kan ooreenstem.
Waarom dit by die tafel saak maak
'n Uitslagbord van die laaste 20 getalle sal byna altyd minstens een herhaling wys, dikwels twee of drie. Spelers sien “17 het twee keer in tien draaie gekom” en lei af dat 17 warm is; die verjaardagberekening sê dat 'n herhaling binne tien draaie 74% van die tyd gebeur en dat die herhaalde getal ewekansig is. Die patroon is werklik; die betekenis nie.
Die opvolgprobleem
Hoeveel draaie totdat 'n spesifieke getal, sê 17, twee keer verskyn het? Dit is 'n ander vraag met 'n baie groter antwoord: die verwagte wagtyd is 74 draaie, en die waarskynlikheid van twee keer 17 binne 20 draaie is omtrent 10%. Die verskil tussen “een of ander getal herhaal hom” (8 draaie) en “hierdie getal herhaal hom” (74 draaie) is die hele verskil tussen 'n patroon wat jy agterna raaksien en 'n voorspelling wat jy vooraf maak.
Probeer dit
Speel die Demospel vir tien draaie en kyk na die geskiedenis. Daar sal gewoonlik 'n herhaling wees. Speel dit weer. Die herhaalde getal sal anders wees. Doen dit tien keer en jy het die verjaardagprobleemwiskundeVerjaarsdagprobleemHoeveel mense daar moet wees voordat twee waarskynlik dieselfde verjaarsdag het, of hoeveel draaie voordat 'n getal waarskynlik herhaal. Op 'n wiel met 37 vakke is 8 draaie genoeg vir 'n kans van beter as half-half.Lees alles → gesien; doen dit duisend keer (die simulators kan dit doen) en jy het dit gemeet.
Formule
Vrae
Presies, met 37 vakke in plaas van 365 dae. 23 mense gee 50% vir verjaardae; 8 draaie gee 56% vir die wiel.
50% ná omtrent 19 draaie. Steeds alledaags.
Nee. Duisende draaie van een wiel sou kon; 'n herhaling doen dit nooit nie.
Pret met wiskunde
Probeer dit eers self. Elke oplossing is toegevou; maak dit oop wanneer jy gereed is.
'n Uitslagbord langs 'n Amerikaanse wiel wys die laaste 16 draaie. Hoe waarskynlik is dit dat geen getal twee keer daarop verskyn nie?
Wys die oplossing
Antwoord Omtrent 2,5%: ongeveer 39 borde uit 40 wys minstens een herhaling.
Gaan draai vir draai. Die eerste draai kan enigiets wees. Die tweede moet dit mis: 37 kanse uit 38. Die derde moet albei mis: 36 uit 38. Die sestiende moet vyftien getalle mis: 23 uit 38.
Vermenigvuldig: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
'n Bord sonder 'n herhaling is die skaars een. 'n Bord met 'n herhaling sê niks oor die wiel nie.
Wat is die kans dat 17 in tien draaie van 'n Europese wiel presies vyf keer uitkom? Dat een of ander getal, enige getal, vyf of meer keer uitkom? En dat een of ander getal minstens drie keer in vier draaie uitkom?
Wys die oplossing
Antwoord 17 presies vyf keer: 1 in 315 576. Een of ander getal vyf of meer keer: omtrent 1 in 8 333. Een of ander getal drie of meer keer in vier draaie: 1 in 349.
17 vyf keer: kies watter vyf van die tien draaie, 252 maniere, elk met 'n kans van (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Saam, 1 in 315 576.
Een of ander getal: elk van die 37 getalle het 'n kans van 1 in 308 325 op vyf of meer treffers, wat 37 in 308 325 gee, of 1 in 8 333. Die skaars geval van twee getalle met elk vyf treffers word twee keer getel, maar om dit uit te haal verander niks by hierdie akkuraatheid nie.
Drie keer in vier draaie: vir een getal, 4 × 36 + 1 = 145 van die 37⁴ moontlike uitslae; vir enige van die 37 getalle, 145/37³ = 1 in 349.
Vir 'n dubbelnulwielNulDie enkele groen vak wat geen gelykgeld-, dosyn- of kolominset dek nie; die bron van die huisvoordeel. Ook: enkele nul, 0.Lees alles →-wiel is die ooreenstemmende syfers 1 in 359 275, 1 in 9 243 en 1 in 368. Die gaping tussen “17” en “een of ander getal” is weer die verjaardagprobleemwiskundeVerjaarsdagprobleemHoeveel mense daar moet wees voordat twee waarskynlik dieselfde verjaarsdag het, of hoeveel draaie voordat 'n getal waarskynlik herhaal. Op 'n wiel met 37 vakke is 8 draaie genoeg vir 'n kans van beter as half-half.Lees alles →: daar is 37 maniere om verras te word.
Vir die lekker
Iets herhaal hom vroeg. Daardie iets is ewekansig.
Bronne
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, vrae oor roulette.