Risiko van ondergang
Die waarskynlikheid dat jy al jou speelgeld verloor voordat jy 'n teiken bereik.
Vir gelykgeld-insette volg die risiko van ondergang die formule van dobbelaarsondergang. Met $500 speelgeld, insette van $10 en 'n teiken van $600 bereik jy die teiken omtrent 57% van die tyd en verloor jy alles in die res.
Die vraag
Jy het a eenhedegeldEenheidDie basiese insetbedrag waarmee 'n stelsel of 'n speler werk. Progressies word in eenhede beskryf sodat hulle by enige tafel geld.Lees alles → speelgeldgeldSpeelgeldDie totale bedrag wat vir spel opsy gesit is. Speelgeldbestuur is om te besluit hoeveel daarvan jy per inset en per speelsessie waag.Lees alles → en wil a + b eenhede bereik deur een eenheid op 'n slag te wed op 'n gelykgeld-insetinsetGelykgeld-insetRooi/swart, onewe/ewe, hoog/laag. 18 getalle, betaal 1:1 uit.Lees alles → met 'n waarskynlikheidwiskundeWaarskynlikheidDie kans op 'n uitslag, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Een getal: 1/37 = 2,70%.Lees alles → van p = 18/37 om te wen en q = 19/37 om te verloor. Wat is die kans dat jy die teiken bereik voordat jy nul bereik? Die antwoord is in die 1650's deur Pascal, Fermat en Huygens uitgewerk en is een van die oudste resultate in die waarskynlikheidsleer.
Die formule van dobbelaarsondergang
P(bereik teiken) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Die risiko van ondergangwiskundeRisiko van ondergangDie waarskynlikheid om al jou speelgeld te verloor voordat jy 'n doelwit of 'n aantal draaie bereik.Lees alles → is een minus dit. Met q/p = 19/18 ≈ 1,0556 groei die verhouding eksponensieel met die aantal eenhede, so die formule straf klein eenhede swaar: hoe meer insette dit neem om die teiken te bereik, hoe meer keer word die tol van 2,70% langs die pad betaal.
Hoe om dit te lees
Kleiner eenhede maak seer. 'n Poging om $500 met insette van $10 te verdubbel, slaag 6% van die tyd; met 'n enkele inset van $500 slaag dit 48,6% van die tyd. Waagmoedige spel, minder en groter insette, maksimeer die kans om 'n teiken te tref in 'n spel met 'n negatiewe verwagting, omdat dit die aantal kere wat die huisvoordeel toegepas word, minimeer. Dit maksimeer ook die variansiewiskundeVariansie'n Maatstaf van hoe wyd uitslae rondom die verwagte waarde versprei. Hoog vir 'n reguit inset, laag vir gelykgeld-insette.Lees alles → van wat met jou gebeur, en dit beëindig die aand vinnig. Die stelling word “waagmoedige spel is optimaal” genoem en is in 1965 deur Dubins en Savage bewys.
Waar die probleem begin het
Die vraag is ouer as roulette. In 1656 het Pascal aan Fermat 'n raaisel gestel: twee spelers gooi drie dobbelstene, en elkeen begin met 12 tellers; 'n gooi van 11 skuif 'n teller een kant toe, 'n gooi van 14 die ander kant toe. Albei het dit opgelos, en Huygens, wat daarvan gehoor het deur 'n brief van die wiskundige Pierre de Carcavi, het dit in 1657 gedruk as die vyfde probleem van die eerste boek oor waarskynlikheid, met die antwoord en sonder 'n bewys. Elf kan op 27 maniere gegooi word en veertien op net 15, so elke teller skuif 9 keer uit 14 in die eerste speler se rigting, en die formule hierbo, met 12 tellers elk, maak dit omtrent 1 157 keer meer waarskynlik dat hy alles wen as dat hy alles verloor. 'n Huisvoordeel van 2,70% is baie kleiner, maar dieselfde formule wys wat dit oor baie insette doen.
'n Werklike waagmoedige inset
In April 2004 het Ashley Revell, 'n jong Engelsman, byna alles verkoop wat hy besit het, insluitend sy klere, en $135 300 na die Plaza in Las Vegas geneem. Ná 'n paar klein insette het hy die hele bedrag op rooiinsetRooiGelykgeld-inset op die 18 rooi getalle. Frans: rouge.Lees alles → gesit, een keer. Die baltoerustingBalDie klein bal wat langs die baan teen die rotor in geskiet word. Moderne balle is van ivorien of Teflon, 18–21 mm.Lees alles → het op rooi 7 geland en hy het met $270 600 uitgestap. Op 'n wiel met 'n dubbelnulwielNulDie enkele groen vak wat geen gelykgeld-, dosyn- of kolominset dek nie; die bron van die huisvoordeel. Ook: enkele nul, 0.Lees alles → was daardie enkele draai 'n kans van 47,37% en het dit hom gemiddeld $7 121 gekos, die huisvoordeel van 5,26% op een inset. Versprei oor insette van $10 sou dieselfde teiken byna hopeloos gewees het. Waagmoedige spel maak die inset nie goed nie; dit maak dit so kort as moontlik.
Risiko van ondergang sonder 'n teiken
As jy eenvoudig speel totdat jy alles verloor of ná N draaie ophou, word die vraag “wat is die kans dat my speelgeld binne N draaie nul raak?”. Daar is geen geslote formule vir algemene N nie, maar die simulators op hierdie webwerf bereken dit: $500 speelgeld teen $10 op rooi raak byna nooit in 100 draaie op nie (minder as 1%), raak omtrent 9% van die tyd in 500 draaie op, en omtrent 95% van die tyd in 5 000. Sonder 'n stopreël neig die waarskynlikheid na 100%, en dit is die langtermynweergawe van die huisvoordeelwiskundeHuisvoordeelDie deel van elke insetbedrag wat die casino gemiddeld hou: 2,70% in Europese roulette.Lees alles →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediaan −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Konvergensie op die lang termyn: die wet van groot getalle in roulette
Hoe lank, en hoe ver voor
Nog twee klassieke resultate beantwoord vrae wat spelers werklik vra. Sonder 'n teiken hou vaste gelykgeld-insette gemiddeld 37 draaie vir elke eenheid speelgeld op 'n Europese wiel en 19 op 'n Amerikaanse wiel, omdat elke draai gemiddeld 1/37 van 'n eenheid neem (1/19 op 'n Amerikaanse wiel): 100 eenhede hou gemiddeld 3 700 draaie, hoewel die helfte van sulke sessies binne 3 134 verby is (sien Lengte en koste van 'n speelsessie). En hoe groot die speelgeld ook al is, die kans op 'n Europese wiel om ooit k eenhede voor te wees, is (18/19)ᵏ. Dit is 95% vir een eenheid en 58% vir tien, maar geen speelgeld, hoe diep ook al, gee 'n gelyke kans om ooit 13 eenhede voor te wees nie; op 'n Amerikaanse wiel is die kans (9/10)ᵏ en daal dit by 7 eenhede onder die helfte.
Lengte en koste van 'n speelsessieAmerikaanse roulette: wiel en reëls
Speelgeld vir 'n kans van vyftig-vyftig
Draai die vraag om: hoeveel moet jy saambring om ten minste 'n kans van vyftig-vyftig te hê om 'n gegewe bedrag te wen voordat jy alles verloor? Vir 'n klein wins, nie veel nie. Vir 'n groter een klim die speelgeld wat nodig is steil, en verby 'n sekere punt is geen speelgeld genoeg nie, omdat selfs eindelose speelgeld minder as 'n kans van vyftig-vyftig gee om ooit so ver voor te kom. Taylor (2021) stel dit anders: op 'n Amerikaanse wiel moet jy met 94 begin om 'n kans van vyftig-vyftig te hê om 100 eenhede te bereik, en jy waag dus 94 om 6 te wen. Op 'n Europese wiel sou jy 88 nodig hê.
Die praktiese les
Besluit wat jy probeer doen. As die doel 'n spesifieke wins is, wed groot en min. As die doel 'n lang aand is, wed klein en aanvaar dat die huisvoordeel sy 2,70% van 'n groot omsetgeldOmsetDie totale bedrag wat oor 'n speelsessie of tydperk ingesit word, insluitend winste wat weer ingesit word. Ook: handle, action.Lees alles → sal neem. As die doel albei is, moet iets padgee, en gewoonlik is dit die teiken.
Formule
Vrae
MartingalestrategieMartingaleProgressie wat die inset ná elke verlies verdubbel. Sien die afdeling oor insetstrategieë vir wat dit wel doen en wat nie.Lees alles → verlaag dit vir kort sessies en verhoog dit dramaties vir lang sessies. Vaste insettestrategieVaste insetteElke draai dieselfde bedrag insit. Die maatstaf waarmee elke progressie vergelyk word.Lees alles → met 'n groter eenheid is die eerlike manier om dit te verlaag.
Die formule hierbo is vir gelykgeld. Vir insette met hoë variansie is ondergang by klein insetbedrae meer waarskynlik en word die teiken op 'n meer hortende manier bereik; gebruik die sakrekenaar.
Elke stap na die teiken is effens minder waarskynlik as elke stap na ondergang; die verhouding stapel oor die aantal stappe op.
Pret met wiskunde
Probeer dit eers self. Elke oplossing is toegevou; maak dit oop wanneer jy gereed is.
Jy het $100 en wil $1 000 hê, en wed net op rooiinsetRooiGelykgeld-inset op die 18 rooi getalle. Frans: rouge.Lees alles →. Plan een: wed $1 op 'n slag. Plan twee: wed alles wat jy het totdat jy verby $500 is, dan net genoeg om $1 000 te bereik. Watter plan is beter, en met hoeveel?
Wys die oplossing
Antwoord Plan twee, by verre. Dit bereik $1 000 ongeveer 9,0% van die tyd, naby die billike 10%. Plan een slaag ongeveer 7 keer in 10²².
In 'n billike spelwiskundeBillike spel'n Spel waarin geen kant 'n voordeel het nie: elke inset het 'n verwagte waarde van nul.Lees alles → sou jy $1 000 vanaf $100 een keer uit tien bereik, maak nie saak wat jy doen nie, want die gemiddelde waarde van jou geld bly op $100.
Die voordeel neem 2,70% van elke inset, so hoe minder jy in totaal wed, hoe nader bly jy aan een uit tien. Plan twee beslis die saak in 'n handvol insette: $100 word $200, $400, $800, en dan is $200 genoeg. Dit slaag ongeveer 9,0% van die tyd. Plan een neem duisende insette voordat die wandeling eindig, en die voordeel, klein op elkeen van hulle, tel op tot byna sekere ondergang.
Dit is die Dubins–Savage-resultaat in sy eenvoudigste vorm (Epstein, 2013): in 'n spel wat die huis bevoordeel, wed soveel as wat jy nodig het, so min keer as wat jy kan.
Jy het $500 en wil $1 000 hê, en hou op sodra jy dit het. Jy kies een soort inset en herhaal dit totdat dit een keer wen of die geld opraak. Watter soort gee die beste kans?
Wys die oplossing
Antwoord Een inset van $500 op rooi: 48,6%. Elke plan wat die geld oor kleiner insette versprei, doen swakker.
Kies elke insetbedrag so dat een wen genoeg is: $30 op 'n reguit insetinsetReguit inset'n Enkele getal (straight up), betaal 35:1 uit.Lees alles → wen $1 050, $60 op 'n splitinsetSplitTwee aangrensende getalle, betaal 17:1 uit.Lees alles → wen $1 020, ensovoorts. Tel dan die kans dat minstens een inset wen voordat die geld opraak. Sestien reguit insette van $30 mis almal met 'n kans van (36/37)¹⁶ = 64,5%, so hulle bereik $1 000 35,5% van die tyd.
Die tabel wys elke inset. Rooi doen die beste omdat dit daar uitkom met een inset, so die voordeel word een keer betaal, op $500. Die six lineinsetSix lineSes getalle in twee aangrensende rye, betaal 5:1 uit. Frans: sixain.Lees alles → is tweede omdat dit net drie nodig het. 'n Enkele dosyninsetDosyn1–12, 13–24 of 25–36, betaal 2:1 uit.Lees alles →-inset is die swakste, 'n kans van 12/37; selfs gespeel in eenhedegeldEenheidDie basiese insetbedrag waarmee 'n stelsel of 'n speler werk. Progressies word in eenhede beskryf sodat hulle by enige tafel geld.Lees alles → van $250 totdat jy $1 000 of meer het, kom die dosyn net 46,4% van die tyd daar uit.
Bollman (2024) bou dieselfde tabel vir 'n Amerikaanse wiel. Sy dosyn-ry het 'n fout: dit behoort 12/38 = 31,6% te lees.
insetinsetbedrag × aantal insettekans om $1 000 te bereikReguit inset$30 × 1635,5%Split$60 × 835,9%Street$90 × 534,5%Corner$125 × 436,7%Six line$166, $166, $16841,2%Dosyn$500 × 132,4%Rooi$500 × 148,6%Jy wed een eenheid op rooi, draai na draai, met speelgeldgeldSpeelgeldDie totale bedrag wat vir spel opsy gesit is. Speelgeldbestuur is om te besluit hoeveel daarvan jy per inset en per speelsessie waag.Lees alles → wat nooit opraak nie. Na die eerste draai is jy een eenheid voor of een eenheid agter. Wat is die kans dat jy ooit weer presies gelyk sal staan?
Wys die oplossing
Antwoord 36 in 37, 97,3%. Op 'n Amerikaanse wiel is dit 36 in 38, 94,7%.
As die eerste draai wen (18 keer in 37), is jy een eenheid voor, en die voordeel trek elke eindelose speelsessie af, so vroeër of later gaan jy weer deur gelyk: dit is seker. As dit verloor (19 keer in 37), moet jy een eenheid klim, en die kans om ooit een eenheid voor te wees, is 18/19 (sien die tabel hierbo).
Saam: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
In die algemeen is die kans 1 minus die verskil tussen die kanse om 'n draai te wen en te verloor: 1 − 1/37 op 'n Europese wiel, 1 − 2/38 op 'n Amerikaanse. In 'n spel sonder nulwielNulDie enkele groen vak wat geen gelykgeld-, dosyn- of kolominset dek nie; die bron van die huisvoordeel. Ook: enkele nul, 0.Lees alles → is die verskil niks nie en is die kans 1: die telling kom altyd terug na gelyk. Epstein (2013) gee die algemene reël.
Pascal se raaisel van 1656: twee spelers gooi drie dobbelstene, elk begin met 12 speelpenninge. Elke gooi van 11 skuif 'n speelpenning na die eerste speler, elke gooi van 14 skuif een na die tweede; ander gooie tel nie. Hoe waarskynlik is dit dat die eerste speler al 24 wen? En as jy eerder elke draai 1 eenheid op rooi wed teen 'n vriend wat as die bank optree, 12 eenhede elk, hoe waarskynlik is dit dat jy al 24 wen?
Wys die oplossing
Antwoord Die eerste speler wen ongeveer 1 157 keer in 1 158. Jy, op rooi, wen al 24 eenhede net ongeveer 34% van die tyd.
Drie dobbelstene maak 11 op 27 maniere en 14 op 15 maniere, so elke speelpenning wat skuif, gaan 27 keer in 42 na die eerste speler, 9 keer in 14. Met elke kant wat op 12 begin, is die kans om alles te vat 1/(1 + r¹²), waar r die verhouding is van die ander kant se kans tot joune.
Vir die eerste speler is r = 5/9, en (5/9)¹² ≈ 0,00086, so die kans is ongeveer 0,99914: kanse van 9¹² tot 5¹², of 282 429 536 481 tot 244 140 625, ongeveer 1 157 tot 1. Huygens het presies daardie getalle in 1657 gedruk.
Op rooi is r = 19/18 weens die nul, en (19/18)¹² ≈ 1,913: jou kans is 1/2,913 ≈ 34,3%. 'n Muntstuk sou 50% gee. Die voordeel van 2,70% op elke inset tel, oor die baie insette wat dit verg, op tot 'n gaping van 16 punte.
Vir die lekker
Waagmoedige spel is optimaal. Dit is ook gou verby.
Bronne
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Brief aan Huygens, 28 September 1656, oor die probleem wat Pascal aan Fermat gestel het.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”