Probleem: die tafellimiet
'n Martingale van $10 by 'n tafel met 'n limiet van $500. Hoe dikwels breek dit, hoeveel verloor dit wanneer dit breek, en help dit om die limiet te verhoog?
Ses verliese na mekaar breek dit: 1,8% per siklus, omtrent 60% van speelsessies van 100 draaie. Die breuk kos $630. Om die limiet na $5 000 te verhoog, maak die breuk skaarser (0,25% per siklus) en groter ($5 110). Die verwagte verlies per dollar ingesit is 2,70% by enige limiet.
Die probleem
'n Speler sit $10 op rooiinsetRooiGelykgeld-inset op die 18 rooi getalle. Frans: rouge.Lees alles → in en verdubbel ná elke verlies, en begin weer van voor ná 'n wen. Die tafelmaksimum is $500. (a) Hoeveel opeenvolgende verliese breek die progressiestrategieProgressieEnige reël wat die insetbedrag op grond van vorige uitslae verander. Negatiewe progressies verhoog dit ná verliese, positiewe ná wenne.Lees alles →? (b) Wat is die waarskynlikheidwiskundeWaarskynlikheidDie kans op 'n uitslag, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Een getal: 1/37 = 2,70%.Lees alles → per siklus? (c) Wat word by die breuk verloor? (d) Hoe verander 'n limiet van $5 000 die antwoorde? (e) Maak enige limiet die stelsel winsgewend?
Oplossings (a)–(c)
Insetbedrae: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Die sewende sou 640 > 500 wees, dus breek ses verliese dit. (b) p(verlies) = 19/37 op rooi; (19/37)⁶ = 0,0183, omtrent 1,8% per siklus. 'n Siklus duur gemiddeld omtrent twee draaie, dus het 'n speelsessie van 100 draaie ongeveer 50 siklusse en is p(minstens een breuk) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, wat 63 basis-eenhedegeldEenheidDie basiese insetbedrag waarmee 'n stelsel of 'n speler werk. Progressies word in eenhede beskryf sodat hulle by enige tafel geld.Lees alles → is, teenoor die $10 wat die siklus probeer wen het.
Oplossing (d)
By $5 000: insetbedrae tot 2 560 word toegelaat; die tiende insetbedrag, 5 120, word geweier. Nege verliese breek dit: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per siklus, omtrent 11% van speelsessies van 100 draaie. Verlies by die breuk: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Die speler het 'n skaarser ramp gekoop teen die prys van 'n groter een. Oor baie speelsessies is die verwagte koste van breuke p × verlies ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per siklus by die limiet van $500 en 0,0025 × 5 110 = $12,8 by $5 000; dit is, binne afronding, dieselfde getal, en dit is die verwagte verlieswiskundeVerwagte verliesVerwagte waarde maal die totale bedrag wat ingesit is; die gemiddelde bedrag wat oor 'n speelsessie of 'n tydperk verloor word.Lees alles → van die siklus plus die $10 wat die wensiklusse verdien.
Oplossing (e)
Nee. Verwagte verlies per siklus = (verwagte totale insetbedrag in die siklus) / 37, by enige limiet, omdat elke inset −1/37 van homself is. Die limiet bepaal net hoe die verlies verdeel word tussen baie klein wenne en min groot verliese. Sonder 'n limiet en met oneindige speelgeldgeldSpeelgeldDie totale bedrag wat vir spel opsy gesit is. Speelgeldbestuur is om te besluit hoeveel daarvan jy per inset en per speelsessie waag.Lees alles → sou die progressie “werk”, in die sin dat dit nooit sou breek nie, en dit sou ook 'n onbegrensde bedrag insit met 'n verwagte verlies van 2,70% van daardie onbegrensde bedrag. Dit is nie die tafellimiettafelTafellimietDie minimum en maksimum inset wat toegelaat word. Die maksimum is wat verdubbelingsprogressies stuit.Lees alles → wat keer dat MartingalestrategieMartingaleProgressie wat die inset ná elke verlies verdubbel. Sien die afdeling oor insetstrategieë vir wat dit wel doen en wat nie.Lees alles → werk nie. Die rekenkunde doen dit.
Twee regte tafels
Thorp se voorbeeld is 'n tafel van $1 met 'n maksimum van $1 000, waar 'n speler hoop om $30 vir aandete te wen, een dollar op 'n slag. Die insetbedrae 1, 2, 4 … 512 laat tien insette toe, dus breek tien verliese na mekaar die progressie: een keer uit 785 siklusse op 'n Europese wiel (een keer uit 613 op 'n Amerikaanse), teen 'n koste van $1 023. Dertig siklusse slaag almal 96,2% van die tyd. Die ander 3,8% verloor omtrent $1 000, en die gemiddelde uitslag van die aand is −$9,17, wat presies 1/37 is van die $339 wat die dertig siklusse gemiddeld insit. 'n Tafel van $5 met 'n maksimum van $2 000 is nie anders nie: insetbedrae tot $1 280 laat nege insette toe, en die breuk kom een keer uit 403 siklusse op 'n Europese wiel (een keer uit 323 op 'n Amerikaanse) en kos $2 555.
'n Ryk speler
Gee die progressie diep speelgeld in plaas van 'n lae limiet: 1 000 eenhede, 'n basis van een eenheid en 1 000 draaie op rooi, en begin weer by een eenheid wanneer die volgende verdubbeling meer is as wat oorbly. Ons het 'n miljoen sulke aande gesimuleer. Op 'n Europese wiel eindig 52% voor, verloor 21% alles, en is die gemiddelde uitslag −124 eenhede. Selfs in 'n spel sonder nulwielNulDie enkele groen vak wat geen gelykgeld-, dosyn- of kolominset dek nie; die bron van die huisvoordeel. Ook: enkele nul, 0.Lees alles →, waar elke inset regverdig is, sou slegs omtrent 60% voor eindig. Die gewone aand is 'n klein wen; die gemiddeld word betaal deur die aande wat op nul eindig.
Die les
Casino's stel limiete om hul eie variansiewiskundeVariansie'n Maatstaf van hoe wyd uitslae rondom die verwagte waarde versprei. Hoog vir 'n reguit inset, laag vir gelykgeld-insette.Lees alles → te beperk, nie om stelsels te verslaan nie. Om Martingale te verslaan, is 'n newe-effek wat hulle graag aanvaar, en die rekenkunde sou dit in elk geval verslaan. 'n Speler wat dink die limiet is die probleem, het die krans gevind en dit vir die helling aangesien.
Formule
Vrae
Dit laat jou toe om tot 'n hoër limiet te oorleef, waar die breuk skaarser en groter is. Die verwagte verlies per dollar bly onveranderd.
Insetbedrae 10, 30, 70, 150, 310: die limiet van $500 word ná vyf verliese bereik, en die breuk kos $570. Dieselfde 2,70%.
Sodat een speler nie meer kan insit as wat die casino se reserwe gemaklik kan uitbetaal nie. Bestuur van variansie.
Pret met wiskunde
Probeer dit eers self. Elke oplossing is toegevou; maak dit oop wanneer jy gereed is.
'n MartingalestrategieMartingaleProgressie wat die inset ná elke verlies verdubbel. Sien die afdeling oor insetstrategieë vir wat dit wel doen en wat nie.Lees alles → begin by $100 op rooiinsetRooiGelykgeld-inset op die 18 rooi getalle. Frans: rouge.Lees alles → en laat homself hoogstens n insette per siklus toe: na n verliese agtereenvolgens gee dit op en begin weer. Skryf die gemiddelde uitslag van een siklus as 'n formule in n, en werk dit uit vir 5, 6 en 7 insette op 'n Europese wiel.
Wys die oplossing
Antwoord Die gemiddeld is 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 vir 5 insette, −$17,35 vir 6 en −$20,52 vir 7. Om meer insette toe te laat, maak die gemiddelde siklus slegter, nie beter nie.
'n Siklus wen $100 tensy al n insette verloor, wat gebeur met 'n kans van qⁿ, waar q = 19/37. Wanneer hulle almal verloor, tel die insetbedrae 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ op tot 100 × (2ⁿ − 1). Die gemiddeld is dus 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Hier is 2q = 38/37, 'n bietjie meer as 1, so (2q)ⁿ groei met n en die gemiddeld daal: n = 5 gee 1,1426 en −$14,26; n = 6 gee 1,1735 en −$17,35; n = 7 gee 1,2052 en −$20,52. 'n Langer leer verloor minder dikwels, in 3,6%, 1,8% en 0,9% van siklusse, maar elke verlies is twee keer so groot, en meer geld gaan elke siklus oor die tafel, teen 2,70% van elke inset.
Op 'n Amerikaanse wiel is 2q = 40/38 en die syfers is −$29,24, −$36,04 en −$43,20 (Taylor, 2021). In 'n spel sonder nulwielNulDie enkele groen vak wat geen gelykgeld-, dosyn- of kolominset dek nie; die bron van die huisvoordeel. Ook: enkele nul, 0.Lees alles → is 2q = 1, en elke siklus is gemiddeld presies nul, maak nie saak hoe lank die leer is nie.
Die “groot Martingale” verdubbel die insetbedrag na 'n verlies en tel een eenheidgeldEenheidDie basiese insetbedrag waarmee 'n stelsel of 'n speler werk. Progressies word in eenhede beskryf sodat hulle by enige tafel geld.Lees alles → by, so die insetbedrae loop 1, 3, 7, 15, 31 … Hoeveel is jy voor wanneer die eerste wen op die 1ste, 2de, 3de of k-de inset kom? By 'n eenheid van $10 en 'n maksimum van $500, hoe dikwels breek 'n siklus, en wat kos 'n siklus gemiddeld?
Wys die oplossing
Antwoord 'n Wen op die k-de inset laat jou k eenhede voor: +1, +2, +3 ensovoorts. By $10 en $500 breek die siklus na vyf verliese, 3,57% van siklusse, vir −$570. Gemiddeld verloor 'n siklus $2,32 uit $85,73 ingesit: 2,70%.
Die k-de insetbedrag is 2ᵏ − 1 eenhede: 1, 3, 7, 15, 31. Die eerste k − 1 insetbedrae tel op tot 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. 'n Wen op die k-de inset betaal 2ᵏ − 1, so die siklus eindig (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k eenhede voor: een ekstra eenheid vir elke verlies voor die wen.
By $10 per eenheid is die insetbedrae $10, $30, $70, $150 en $310; die volgende, $630, is oor die maksimum van $500. Vyf verliese agtereenvolgens, (19/37)⁵ = 3,57%, kos 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Gemiddeld: die wenne bring $10 × k in met 'n kans van (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 vir k = 1 tot 5, en die mislukking neem $570 met 'n kans van 3,57%; saam −$2,32. Die geld wat ingesit word, is gemiddeld $85,73 per siklus, en 2,32/85,73 = 2,70%. Die gewone Martingale by dieselfde tafel breek na ses verliese, 1,83% van siklusse, vir −$630, en verloor $1,74 uit $64,20 ingesit: weer 2,70%.
'n Speler beplan 'n Martingale op rooi met 'n eerste inset van $1 by 'n tafel met 'n limiet van $1 000, so tien insette is moontlik: $1, $2, $4 ensovoorts tot $512. Hoe dikwels verloor 'n siklus al tien, hoe lank neem dit gemiddeld, en hoe dikwels eindig 'n aand van 200 insette so?
Wys die oplossing
Antwoord 'n Siklus verloor al tien ongeveer een keer in 784, wat $1 023 kos. Dit is gemiddeld ongeveer 1 600 insette, en 'n aand van 200 insette tref die muur ongeveer 11% van die tyd. 'n Siklus verloor steeds gemiddeld $0,31 uit $11,31 ingesit: 2,70%.
'n Inset op rooi verloor met 'n kans van 19/37, die nul ingesluit. Tien agtereenvolgens: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, ongeveer 1 in 784. Die insetbedrae 1 + 2 + 4 + … + 512 tel op tot $1 023.
'n Siklus neem gemiddeld 2,05 insette, so 784 siklusse neem ongeveer 1 600 insette. Draai vir draai getel, kom 'n reeks van tien verliese 11,3% van die tyd iewers in 200 insette voor.
Tussen rampe wen die speler $1 per siklus: ongeveer $783 voor die slegte een, dan −$1 023, ongeveer −$240 oor die hele tydperk. Per siklus: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Geld ingesit per siklus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. En −0,31/11,31 = −2,70%.
Vergelyk 'n eerste inset van $10 by 'n limiet van $500, ses insette: die muur kom een keer in 55 siklusse, en 'n aand van 200 insette tref dit 84% van die tyd. 'n Hoër limiet maak die ineenstorting skaarser en groter, nie goedkoper nie.
Vir die lekker
Skaarser en groter, by elke limiet. Die produk bly konstant.
Bronne
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2de uitg.