Konvergensie op die lang termyn: die wet van groot getalle in roulette
Hoe die gemiddeld na −2,70% toe sak, en waarom dit langer duur as wat jou intuïsie verwag.
Die gemiddelde verlies per draai beweeg nader aan −1/37 namate die draaie toeneem, met 'n spreiding wat soos 1/√N krimp. Ná 1 000 insette op rooi is die gemiddeld gewoonlik binne ±3% van die verwagte waarde.
Wet van groot getalle
Die lopende gemiddeld van onafhanklike insette neig na die verwagte waardewiskundeVerwagte waardeDie gemiddelde uitslag per inset op die lang duur. −1/37 van die insetbedrag vir elke standaard Europese inset.Lees alles →. Ná N gelykgeld-draaie van een eenheidgeldEenheidDie basiese insetbedrag waarmee 'n stelsel of 'n speler werk. Progressies word in eenhede beskryf sodat hulle by enige tafel geld.Lees alles → elk het die gemiddelde uitslag per draai 'n verwagting van −1/37 en 'n standaardafwykingwiskundeStandaardafwykingVierkantswortel van die variansie; die tipiese afstand van 'n uitslag van die verwagte waarde.Lees alles → van 1/√N. By N = 100 is daardie spreiding 10% van die insetbedrag, amper vier keer die sein van 2,7%. By N = 1 000 is dit 3,2%, omtrent dieselfde as die sein. By N = 10 000 is dit 1%, en die huisvoordeel is duidelik sigbaar. Die huisvoordeel is onsigbaar in een speelsessie en onmiskenbaar oor 'n jaar.
Wat konvergeer en wat nie
Die gemiddeld per draai konvergeer. Die totaal doen dit nie: dit dryf al verder van nul af namate N groei, na verwagting met omtrent 2,7% van N, met 'n spreiding van √N daaromheen. 'n Speler wat 10 000 draaie teen $10 gespeel het, sal na verwagting $2 700 agter wees, plus of minus $1 000. Die lopende verhouding van rooiinsetRooiGelykgeld-inset op die 18 rooi getalle. Frans: rouge.Lees alles → uitslae het lankal naby 48,65% gaan lê; die lopende saldo het nêrens gaan lê nie.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediaan −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Waarom intuïsie faal
Mense verwag dat die huisvoordeel gou sal wys omdat 2,70% na baie klink, en hulle verwag dat lang reekse “sal uitbalanseer” omdat die wet van groot getallewiskundeWet van groot getalleDie gemiddelde van onafhanklike uitslae nader die verwagte waarde namate die aantal pogings groei.Lees alles → sê dat gemiddeldes konvergeer. Albei intuïsies skat die skaal verkeerd: die huisvoordeel is klein vergeleke met die variansiewiskundeVariansie'n Maatstaf van hoe wyd uitslae rondom die verwagte waarde versprei. Hoog vir 'n reguit inset, laag vir gelykgeld-insette.Lees alles → van een enkele draai (σ = 1 eenheid teenoor 'n verwagte waarde van 0,027), dus duur dit (1/0,027)² ≈ 1 400 draaie voordat dit op een sigma sigbaar word. En die konvergensie van die gemiddeld trek die totaal glad nie terug nie; dit verdun net vroeëre skommelinge.
Konvergensie vir ander insette
Vir reguit insetteinsetReguit inset'n Enkele getal (straight up), betaal 35:1 uit.Lees alles → is σ = 5,84, dus gee dieselfde berekening (5,84/0,027)² ≈ 47 000 draaie voordat die huisvoordeel een sigma bereik. 'n Speler wat reguit insette plaas, kan jare lank speel sonder dat die huisvoordeel in die speler se eie rekords van geluk onderskei kan word, terwyl die speler presies dieselfde 2,70% betaal as die speler op rooi wat dit binne weke sien.
Wat dit beteken vir die toets van stelsels
Enigiemand wat beweer dat 'n stelsel werk, behoort dit oor 10 000 of meer draaie met 'n gedokumenteerde positiewe gemiddeld te kan wys. By 1 000 draaie is 'n positiewe gemiddeld op gelykgeld 'n een-uit-vyf-gebeurtenis onder die nulhipotese; by 100 draaie is dit amper 'n muntgooi. Die simulators op hierdie webwerf speel 2 000 speelsessies van jou gekose lengte binne een sekonde deur, wat meer bewys is as enige getuienis.
Formule
Vrae
Die waarskynlikheidwiskundeWaarskynlikheidDie kans op 'n uitslag, van 0 tot 1 of van 0% tot 100%. Een getal: 1/37 = 2,70%.Lees alles → dat jy ooit weer voor sal wees, daal na nul toe hoe langer jy speel. Die totaal dryf sonder grens afwaarts.
Nee. Dit beteken dat vroeëre skommelinge 'n kleiner deel van 'n groter steekproef word.
Vir gelykgeld omtrent 10 000 voordat die huisvoordeel duidelik sigbaar is. Vir reguit insette omtrent 50 000.
Pret met wiskunde
Probeer dit eers self. Elke oplossing is toegevou; maak dit oop wanneer jy gereed is.
Twee vriende speel 20 rondtes van 'n billike spelwiskundeBillike spel'n Spel waarin geen kant 'n voordeel het nie: elke inset het 'n verwagte waarde van nul.Lees alles →, 'n muntgooi of rooiinsetRooiGelykgeld-inset op die 18 rooi getalle. Frans: rouge.Lees alles → teen swartinsetSwartGelykgeld-inset op die 18 swart getalle. Frans: noir.Lees alles → met die nullewielNulDie enkele groen vak wat geen gelykgeld-, dosyn- of kolominset dek nie; die bron van die huisvoordeel. Ook: enkele nul, 0.Lees alles → terugbetaal, en hou 'n lopende telling. Tel die rondtes waartydens elkeen voor is ('n gelykop tel vir wie ook al net voor dit voor was). Wat is meer waarskynlik: dat die voorsprong 10 rondtes teen 10 gedeel word, of dat een vriend al 20 voor is?
Wys die oplossing
Antwoord Een vriend wat al 20 rondtes voor is, is baie meer waarskynlik: 35,2%, as enigeen van die vriende getel word, teenoor 6,1% vir 'n gelyke 10 teen 10.
Die kans dat 'n billike lopende telling na 2k rondtes gelyk is, is u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 na 10 rondtes en 0,176 na 20. 'n Klassieke resultaat, die arksinuswet, sê die kans dat een bepaalde vriend presies 2k van 2n rondtes voor is, is u(2k) × u(2n − 2k).
Al 20 voor: u(20) × u(0) = 0,176 vir elke vriend, 35,2% vir enigeen. 'n Gelyke verdeling: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, die onwaarskynlikste verdeling van almal.
In 'n billike spel verwissel die voorsprong dus selde van kant. 'n Speler wat die hele aand voor was, of die hele aand agter, het niks ongewoons gesien nie, en dit sê niks oor die wiel of oor vaardigheid nie. Epstein (2013) gee dieselfde wet vir langer spele: die helfte van die tyd is die gelukkiger kant vir meer as 85% van die spel voor.
Vir die lekker
Die gemiddeld konvergeer. Die totaal loop net weg.
Bronne
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.